Tümevarım (indüksiyon), genel bir sonuca ulaşmak için özel durumların gözlemlenmesi yoluyla yapılan bir akıl yürütme yöntemidir. Yani, belirli örneklerden hareketle bir genel kural veya genel yargı çıkarılır. Matematikte ve günlük hayatta sıkça kullanılır.

1. Tanımı:

• Tümevarım, bireysel gözlemler veya örneklerden yola çıkarak genel bir prensip veya yasa oluşturma yöntemidir.

• Matematikte tümevarım yöntemi, özellikle doğal sayılarla ilgili ifadelerin tümü için geçerli olduğunu kanıtlamak için kullanılır.

2. Günlük Hayattan Örnekler:

1. Ayın her zaman doğudan doğduğunu gözlemledik → “Ay her zaman doğudan doğar” sonucuna varırız.

2. Bu sabah kahve içtim ve enerjim arttı. Dün de kahve içtiğimde enerjim arttı. → “Kahve içmek enerjiyi artırır” diye genelleme yapabiliriz.

Not: Tümevarım her zaman kesin doğru sonuç vermez; yalnızca gözlemlenen örneklere dayanır.

3. Matematiksel Tümevarım Örneği:

Matematikte tümevarım genellikle şu adımlarla yapılır:

1. Başlangıç adımı: En küçük değer için önermenin doğru olduğunu göster.

2. Tümevarım adımı: Eğer önerme $n=k$ için doğruysa, $n=k+1$ için de doğru olduğunu göster.

3. Sonuç: Önerme tüm doğal sayılar için geçerlidir.

Örnek:
Önerme: 1+2+3+…+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}1+2+3+…+n=2n(n+1)​

• Başlangıç: $n=1$ için 1=1(1+1)2=11 = \frac{1(1+1)}{2} = 11=21(1+1)​=1 ✅

• Tümevarım: 1+2+…+k=k(k+1)21 + 2 + … + k = \frac{k(k+1)}{2}1+2+…+k=2k(k+1)​ varsayalım.
  1+2+…+k+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)=k(k+1)+2(k+1)2=(k+1)(k+2)21 + 2 + … + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}1+2+…+k+(k+1)=2k(k+1)​+(k+1)=2k(k+1)+2(k+1)​=2(k+1)(k+2)​ ✅

• Böylece önerme tüm doğal sayılar için geçerlidir.